一阶齐次方程（homogeneous first-order equation）

这里的「齐次」含义相当特定、也容易误读：指右边只依赖比值 y/x、而不分别依赖 x 和 y 的方程。这样的方程是尺度不变的——把 x 和 y 同时放大同一倍数，方程看起来一模一样。正是这种对称性，被一个巧妙的代换所利用，把它化为你能积分的可分离方程。

形式上，dy/dx = f(x, y) 在此意义下是齐次的，若 f(x, y) 可写成仅含 y/x 的函数——等价地，若对每个缩放因子 t 都有 f(t*x, t*y) = f(x, y)。代换 v = y/x（于是 y = v*x，由乘积法则 dy/dx = v + x*dv/dx）把方程化为 x*dv/dx = f(v) - v，它关于 v 与 x 可分离：分离、积分，再把 v 换回 y/x。它之所以奏效，几何核心在于尺度对称——沿从原点出发的任一射线，斜率场是恒定的，所以天然坐标就是比值 v = y/x。

这类方程出现在任何没有内禀长度尺度的问题里，这在几何中（由角度或比值条件定义的曲线）和物理问题的相似解中很常见，那里量纲分析把两个变量并成一个比值。一个关于术语的严肃警告：这里的「齐次」与线性常微分方程理论里的「齐次」完全是两回事，后者指驱动项为零（Q = 0）。同一个词，两个不相干的含义——由上下文判定指的是哪个。