卷积定理

在 s 域里乘法很容易，但回到时间它意味着某种微妙的东西。卷积定理回答这样的问题：如果你把两个变换相乘，乘积对应于什么时间函数？答案不是两个时间函数的乘积——而是它们的卷积，一种把一个函数的过去掺进另一个的混合运算。

f 与 g 的卷积写作 (f * g)(t) = 从 0 到 t 的 f(tau) g(t - tau) d tau：你把 g 翻转、平移，再累加重叠部分。定理断言 L{f * g} = F(s) G(s)。于是 s 域里的乘积就是时间里的卷积，反过来，乘积 F(s) G(s) 的逆变换就是两个逆变换的卷积。当你能分别认出每个因子、却在任何表里都找不到那个乘积时，这正是让你求逆的办法。

从物理上看，卷积积分正是一个线性时不变系统对任意输入的响应方式：你把输入看成一串连续的冲激，用系统的冲激响应给每个加权，再把这些回声叠加起来。这正是 (输入 * 冲激响应) 的含义。因此卷积定理是 s 域里传递函数（一个简单的乘积 H(s) X(s)）与时域叠加积分之间的桥梁——同一个事实披着两件外衣。