拉普拉斯变换
变换方法中的赫维赛德阶跃
/ HEV-ih-side /
工程里几乎每个有趣的输入都是被开关切换的：电压接通、阀门打开、力突然施加。赫维赛德阶跃函数就是数学上的开关——它在某个选定时刻之前为 0、之后为 1——而在变换方法里，它是组装所有这类通断、分段输入的基本积木。
记作 u(t - a)，这个阶跃在 t = a 处从 0 跳到 1。它的拉普拉斯变换是 L{u(t - a)} = e^{-a s}/s，而原点处的阶跃 u(t) 变换为 1/s。真正的威力来自把阶跃组合起来构造脉冲和阶梯：在 t = a 与 t = b 之间为 1 的矩形脉冲是 u(t - a) - u(t - b)，任何分段函数都能写成阶跃乘以函数之和。变换这类组合要用第二平移定理，其延迟因子 e^{-a s} 恰是阶跃开启时刻的变换。
正是这一点，让拉普拉斯方法在处理分段强迫时比经典技巧干净得多。你不必在每个区间上分别解微分方程、再在断点处费力地匹配值，而是把整个强迫函数编码成一个用阶跃写的表达式，变换一次、求解一次、求逆一次。物理解的连续性由代数自动处理，因为阶跃把切换信息原封不动地带过了变换。
仅在 t = 1 与 t = 3 之间施加的单位力是 u(t - 1) - u(t - 3)，其变换为 e^{-s}/s - e^{-3 s}/s。
两个阶跃相减得到矩形脉冲；两个延迟因子把开启和关闭时刻带入 s 域。
阶跃在 t = a 处的取值是约定问题（常取 1/2），且从不影响拉普拉斯变换，因为在单点改变函数值无法改变它的积分。
又称
另见