洛朗级数（Laurent series）
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泰勒级数在函数表现极好的点附近描述解析函数，只用非负幂 (z - a)^0, (z - a)^1, ...。可是在函数发散的点附近该怎么办，比如原点附近的 1/z？洛朗级数便是答案：它是把泰勒级数推广到也允许负幂，从而即便在奇点周围也能给出局部描述。它是你借以读出任何孤立奇点本性的显微镜。
在点 a 周围、在一个环形区域（函数解析的圆环）上，洛朗级数是从 n 等于负无穷到正无穷的和 c_n (z - a)^n。含正幂的部分像普通泰勒级数；含负幂的部分——主部——刻画那发散。最重要的单个系数是 c_{-1}，即 1/(z - a) 的系数：它就是留数，是把级数沿回路积分时唯一存活的项，因为 (z - a)^n 的回路积分对除 n = -1 外的每个 n 都为零，而在 n = -1 时为 2 pi i。留数演算里的一切，归根结底都是提取这一个数。
洛朗级数是给奇点分类的诊断工具：无负幂意味着可去奇点，有限多个负幂意味着极点，无穷多个负幂意味着本性奇点。在应用中你很少从定义积分去算它；而是借复用已知展开来搭建它——1/(1 - z) 的几何级数、指数级数、部分分式——然后直接读出留数。那留数正是你喂给留数定理、用以攻破实积分与逆变换的东西。
把 f(z) = e^z / z^2 在 z = 0 附近展开。用指数级数 e^z = 1 + z + z^2/2 + z^3/6 + ... 除以 z^2：f(z) = 1/z^2 + 1/z + 1/2 + z/6 + ...。主部有两个负幂项，故 z = 0 是二阶极点，而留数（1/z 的系数）为 1。
复用已知级数再相除，便一眼得出洛朗展开与留数。
同一点周围、在不同圆环上，一个函数有不同的洛朗级数——例如一个对小的 |z| 有效，另一个对大的 |z| 截然不同。你必须言明所指的是哪个圆环；在错误的圆环上读留数会得出错误答案。