柯西积分公式（Cauchy's integral formula）
/ KOH-shee /
这是全部数学中最令人惊叹的事实之一：对解析函数而言，沿边界回路上的值完全决定了内部每一点的值。知道 f 在边缘上的情况，你就精确地知道 f 在整个内部的情况。柯西积分公式正是由边界重建内部的精确配方，也是解析函数何以如此刚性、如此可计算的缘由。
公式陈述：若 f 在正向简单闭围道 C 上及其内部解析，则对内部任一点 a，f(a) 等于 1/(2 pi i) 乘以 f(z)/(z - a) dz 沿 C 的围道积分。被积函数在 z = a 处有单极点，除以 z - a 正是提取该处值的手段；绕该极点一圈乘上 2 pi i，被前置因子抵消。在积分号下求导还有附赠：同一份边界数据给出每一阶导数，f^(n)(a) = n!/(2 pi i) 乘以 f(z)/(z - a)^{n+1} dz 的积分。这就是解析函数自动无穷可导的原因——公式从边界值制造出它们的所有导数。
其应用后果是深刻的。它证明了势论中用到的均值性质与最大模性质，支撑泰勒级数的误差界，并给出一种数值稳定的求导法——绕一个圆积分（避开困扰有限差分的相消）。它是一般留数定理由之生长的特例（单极点，留数 f(a)），在概念上更是全息思想的种子：完整的内部信息储存于一个更低维的边界之上。
要求 e^z/(z - 1) 沿以原点为心、半径为 2 的圆的积分，识别它为柯西公式，取 f(z) = e^z、a = 1（落在圆内）。答案是 2 pi i 乘 f(1) = 2 pi i 乘 e^1 = 2 pi e i。边界积分把内部值 e^1 交还，无需再多做。
公式直接从一个边界积分读出内部值——无需原函数。
点 a 必须严格落在围道内部，且 f 须在包含 a 的整个所围区域上解析。若 a 在回路之外，积分反为零（由柯西定理）；若 f 在内部另有奇点，则进入留数定理的地界，必须把它一并计入。