积分号下求导（differentiation under the integral sign）

设想一个积分，其被积式里多坐着一个参数，比如 I(a) = e^(-ax) 乘某式从 0 到无穷的积分。积分号下求导，就是允许你把 d/da 移到积分号里，使得 I(a) 对 a 的导数等于被积式对 a 的导数的积分。你在固定积分变量的情况下对里面求导，然后照常积分。听起来简单得几乎过分——但用得巧妙，它能攻下抵抗一切标准技巧的积分。

最朴素的形式下，当上下限为常数时，规则正是那个交换：[常区间] 上 f(x, a) dx 的积分对 a 的导数，等于 f 对 a 的偏导数的积分。策略是故意往一个难积分里引入一个参数，求导得到一个更容易的积分，解出它，再对参数积分回去（由某个已知的特殊值找回积分常数）。当积分上下限本身依赖参数时，你需要更完整的莱布尼茨法则，它会添加边界项。

这不是廉价把戏，而是一条严格的定理——只要被积式及其参数导数足够好（连续，且有一个控制界以便把极限穿过积分），它就成立。它是物理学中许多结果背后的引擎：生成分布的矩、计算高斯型积分、求那些正面看毫无希望的值。它的非正式昵称「费曼技巧」，是为纪念理查德·费曼如何令人难忘地推广了它，尽管这方法要古老得多。