高级积分技巧
莱布尼茨积分法则（Leibniz integral rule）
/ LYBE-nitz /
莱布尼茨积分法则回答一个精确的问题：若一个积分的参数既出现在被积式里又出现在积分上下限里，当参数移动时整体如何变化？它是对 I(t) = f(x, t) dx 从 a(t) 到 b(t) 的积分求导的完整公式，把两种效应缝在一起——被积式的移动，与端点的滑动。
法则有三块。I(t) 的导数等于：第一，f 在上限处的值乘上限移动的速率 db/dt（右缘前进，曲线获得面积）；减去 f 在下限处的值乘 da/dt（左缘前进，失去面积）；加上 f 对 t 的偏导数在区间上的积分（被积式自身处处在变）。两个边界项恰是动限的链式法则贡献；积分项就是朴素的积分号下求导。当上下限为常数时，边界项消失，只剩那个内部项。
这是动边界问题、流体力学中的输运定理（雷诺输运定理就是随流动携带的区域的多维莱布尼茨法则）以及任何在增长窗口上累积量变化率背后的主力。一个常见的疏忽是只记得积分项，而在上下限确实依赖 t 时忘掉两个边界贡献——这一遗漏悄悄丢掉了真实的物理，比如穿过运动曲面的通量。
对 cos(t x) dx 从 0 到 t^2 的积分求 d/dt，等于 cos(t * t^2) * (2t) + 从 0 到 t^2 的 -x sin(t x) dx 的积分——边界项加上内部的参数导数。
移动的上限 t^2 贡献一个边界项；cos 内部的参数 t 贡献积分项。
当只有上下限依赖参数而被积式不依赖时，法则退化为带链式法则的微积分第二基本定理。恰恰在两者同时变化时才需要完整法则。
又称
另见