高级积分技巧
弗鲁拉尼积分（Frullani integral）
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弗鲁拉尼积分是个小奇迹：[0, 无穷] 上一整类定积分，无论你喂进什么良态函数，都塌缩为同一个简单的对数答案。它处理形如 [f(ax) - f(bx)] / x dx 的积分，其中同一个函数 f 在变量的两个不同伸缩 a 和 b 处取样。惊人之处在于答案几乎完全不依赖 f——只依赖它在端点处的行为。
当 f 在 [0, 无穷) 上连续，且在 0 处有有限极限、在无穷处有有限极限时，[f(ax) - f(bx)] / x dx 从 0 到无穷的积分等于 [f(0) - f(无穷)] 乘 ln(b/a)。你能感觉到原因：把差写成 f' 沿 x 从 ax 到 bx 的积分并交换积分次序，1/x 的权重就把两个伸缩之间的间隔变成对数 ln(b/a)，而 f 在两端的值提供前因子。f 的内部形状被冲刷掉了；只有两个边界值和尺度之比要紧。
弗鲁拉尼积分是积分表和竞赛题的宠儿，并在某个物理量由同一响应在两个频率或两个长度尺度上的差构成时出现。它们也干净地示范了高级积分中反复出现的主题——一个全局的结构特征（这里是「差伸缩」的形状）几乎无需详细计算就能定下一个积分。不过假设很要紧：若 f 在无穷处没有有限极限，基本公式必须修正，甚至可能彻底失效。
(e^(-ax) - e^(-bx)) / x dx 从 0 到无穷的积分，取 f(x) = e^(-x)，f(0) = 1，f(无穷) = 0，等于 (1 - 0) * ln(b/a) = ln(b/a)。
只有 f 的边界值和比值 b/a 留下来——函数的中段无关紧要。
干净的公式需要两个端点极限都存在且有限。若 f(无穷) 不存在，你不能直接代零——标准结论不再适用，积分甚至可能发散。
又称
另见