线积分
普通积分在 x 轴上一段笔直的区间上对一个函数求和。线积分则改为沿空间中一条弯曲的路径求和——想象你走在蜿蜒的山路上，把你所经历的海拔（或陡度，或顶头风）按你每一步的长度加权累加起来。这种积分是沿着曲线穿行，而不是沿着坐标轴。
它有两种形式。标量场 f 沿曲线 C 的线积分，写作 integral over C of f ds，把 f 的值乘以微小弧长片段 ds 累加起来；它计算诸如密度变化的导线总质量之类的东西，并不在意你朝哪个方向走。向量场 F 沿 C 的线积分，写作 integral over C of F dot dr，只累加 F 沿路径方向的那一部分——即每一步的点积 F dot dr——而这一种在你反向时会变号。要计算两者中的任一种，你都把曲线参数化为 r(t)，代入，并把一切化为关于 t 的普通一元积分：对向量形式，就是 integral of F(r(t)) dot r'(t) dt。
线积分是沿路线累积的微积分。向量线积分恰恰就是力沿路径所做的功，这个核心量打开了通往保守场、势函数与梯度定理的大门。环量——速度场或力场绕闭回路的线积分——正是格林定理与斯托克斯定理与旋度相联系的量。没有线积分，那些伟大的积分定理甚至无法被表述。
取 F = (-y, x) 沿单位圆 r(t) = (cos t, sin t)，t 从 0 到 2 pi。则 F(r(t)) dot r'(t) = (-sin t, cos t) dot (-sin t, cos t) = sin^2 t + cos^2 t = 1，所以线积分是 integral from 0 to 2 pi of 1 dt = 2 pi。
非零的回路积分 2 pi 度量了环量——并标志着这个旋转场不是保守场。
标量线积分 integral f ds 与定向无关，但向量线积分 integral F dot dr 在你反向走过曲线时会变号；把两者混为一谈、或忘记定向，是常见的错误。