梯度定理

微积分基本定理说，在一个区间上对导数积分，结果不过是原函数在两端点的差——杂乱的累积坍缩成两次取值。梯度定理恰恰是把这一陈述提升到空间中的曲线：沿一条路径对一个函数的梯度积分，得到的是这个函数在路径两端的差，无论中间路径如何蜿蜒。

确切地说，若 phi 是标量场、C 是从点 A 到点 B 的曲线，则 integral over C of grad phi dot dr = phi(B) - phi(A)。向量场 grad phi 是 phi 的多元导数；线积分沿 C 把它累积起来；而答案只看端点。这正是保守场的功积分与路径无关的原因：一旦你知道场是 grad phi，你根本不必算积分——只需相减两个势值。它是积分定理中最简洁的一个，假设条件也最低。

梯度定理是连接四个最终被证明等同的想法的拱顶石：场是某个梯度、有一个势、线积分与路径无关、绕闭回路环量为零。在物理中，它就是保守力所做的功等于势能下降这一陈述，也就是势能的定义本身。它还是更大定理的真正祖先——格林定理、斯托克斯定理与散度定理都是同一织物裁出的、更高维的微积分基本定理。