保守场
有些力场以一种精确的方式很经济：它们把你从一处移到另一处所做的功，只依赖于你从哪里出发、在哪里结束，而绝不依赖于中间走的风景路线。无论你沿哪条小径从大本营登上顶峰——对保守场而言，总功都一样。这样的场会守恒一个可以赋给每个位置的量（一种能量），这正是它得名的由来。
向量场 F 是保守的，当且仅当它是某个标量场的梯度：F = grad phi，phi 是一个势。在足够好的（单连通）区域上，有若干等价条件：F 是某个梯度；F 的线积分与路径无关；绕每个闭回路的线积分为零；以及处处 curl F = 0（场无旋）。把它们串起来的是梯度定理，它说 integral over C of grad phi dot dr = phi(终点) - phi(起点)。在二维中，实用的判据是交叉偏导条件 partial P/partial y = partial Q/partial x。
保守场正是能量守恒得以成立的原因。引力与静电场是保守的，所以我们能把引力势能和电势能说成位置的良定义函数；下落物体获得的动能只依赖于下落的高度。势、电压与能量图的整套机制都建立在保守性之上，而认出一个场是保守的，能把一个困难的线积分坍缩成两个势值的简单相减。
F = (2 x y, x^2) 通过判据 partial(2xy)/partial y = 2x = partial(x^2)/partial x，所以它是保守的，势为 phi = x^2 y；从 (0,0) 到 (1,1) 的功是 phi(1,1) - phi(0,0) = 1，沿任意路径都一样。
通过交叉偏导判据、找到势，线积分就变成一行的相减。
curl F = 0 只在单连通区域上才保证保守性；在有洞的区域上（如平面去掉原点），无旋场仍可能绕洞有非零环量，从而不是保守的——涡旋场 (-y, x)/(x^2 + y^2) 是标准的警示例子。