路径无关性
假设两个徒步者从同一个登山口出发、到达同一个观景点，但一个走陡峭笔直的山脊，另一个走绕来绕去的之字形长路。如果某个累积量——比如说，克服重力所做的总功——尽管路线不同，对两人却算出相同的值，那么这个量就是与路径无关的。路径无关性就是这样一种线积分的性质：它的值只依赖于曲线的端点，而不依赖于曲线本身。
对向量场的线积分 integral over C of F dot dr，路径无关性等价于 F 是保守的——即 F = grad phi，phi 是某个势。这个等价是双向的：若 F 是某个梯度，梯度定理使积分等于 phi(终点) - phi(起点)，这显然与路线无关；反过来，若两点间沿每条路径积分都相同，你就能从一个固定基点出发积分来定义一个势。路径无关性还等价于闭回路积分为零：若绕每个回路的积分都为零，那么任意两条端点相同的路径（它们合起来构成一个回路）就必然给出相同的值。
路径无关性正是使势能成为有意义概念的东西。因为引力从 A 到 B 所做的功与路径无关，某点的引力势能才是良定义的；电势（电压）也同理。在热力学中，对应物是态函数：内能与路径无关（是状态的性质），而过程中的热与功则不是。发现路径无关性往往是计算线积分最快的途径，因为你可以用任何方便的路径替换给定的困难路径。
对保守场 F = grad(x y) = (y, x)，从 (0,0) 到 (2,3) 的功是 x y 在该处的值 6，无论你走直线、沿坐标轴、还是走任何曲折的路——每条路线都给出 6。
端点相同，答案就相同——这是保守场的标志。
路径无关性是场的性质，而不是某一个积分的性质：单个线积分总有一个确定的值，所以有意义的问题是同两点间的所有路径是否一致。它们一致，当且仅当场在所讨论的区域上是保守的——而且区域很重要，因为定义域中的洞可能破坏它。