格林定理
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沿一块平面区域的边界逆时针走一圈，一边走一边累加一个向量场把你沿路推动了多少——这就是绕回路的环量。格林定理给出一个出人意料的论断：那个边界总量等于场局部旋转（即旋度）在整个内部的聚集。边缘上的行为完全由内部所发生的事决定，反之亦然。
确切地说，对平面区域 D 上的向量场 F = (P, Q)，其边界曲线 C 取正定向，格林定理说沿 C 的线积分 P dx + Q dy 等于在 D 上的二重积分 (partial Q/partial x - partial P/partial y) dA。右边的被积量恰恰是 F 在平面上的（标量）旋度。换一种读法——把 P 和 Q 调换进散度里——同一个定理说 F 向外穿过边界的通量等于 div F 在区域上的二重积分。所以格林定理既有环量形式又有通量形式，是斯托克斯定理与散度定理在二维的投影。
格林定理是三大定理中的第一个，也是它们全部的模板：它用较容易的面积积分换掉较难的边界积分（或反过来）。一个著名推论是求面积的求积仪公式，面积 = (1/2) 沿 C 的线积分 (x dy - y dx)，它纯粹靠绕区域边缘走一圈就算出区域的面积——这正是测量员当年沿地图轮廓滚动的机械求积仪背后的原理。它也是二维流体流动以及简化平面线积分的主力工具。
对 F = (-y, x) 绕单位圆，线积分是 2 pi（前面算过）。格林定理立刻验证它：partial Q/partial x - partial P/partial y = 1 - (-1) = 2，而 2 在单位圆盘上的二重积分是 2 乘以 pi = 2 pi。
回路积分与旋度的面积积分相符——正是格林定理所保证的。
格林定理要求边界取正定向（区域在你左侧，外边界逆时针），且场在整个 D 上光滑；若 F 在区域内有奇点——如原点处的涡旋场——你必须用一条内边界把它挖掉，跳过这一步是最常见的错误。