向量微积分与积分定理
散度定理
/ GOWSS for Gauss /
想象一个装满运动流体的封闭气球，问：每秒有多少流体穿过气球的皮离开？你可以在整个表面上一片一片地测量流出量——或者你可以钻到内部，把散布在体积里的所有小源和小汇加起来。散度定理说这两种账目必须严格相符：穿过边界的，等于内部所产生的。
确切地说，对向量场 F 和以闭曲面 S 为边界（向外定向）的立体区域 V，散度定理陈述：在 S 上的通量积分 F dot n dS 等于在 V 上的三重积分 (div F) dV。左边是穿过曲面的总向外通量；右边是源密度（散度）在内部的积分。它是三个经典定理中维数最高的一个，物理上也最简洁：流出的总通量等于内部的总源，没有任何余项。
散度定理是连续介质物理中每一条守恒律的骨架。电磁学中的高斯定律字面上就是这个定理应用于电场：E 穿过闭曲面的通量等于所围电荷除以 epsilon_0。连续性方程——某个量在一个区域内累积的速率等于其电流向外通量的负值——由它导出，支配着质量、电荷与能量的守恒。它也是把物理定律的积分（整体）形式与微分（局部）形式相互转换的工具。
对 F = (x, y, z)、V 取单位球，div F = 3，所以右边是 3 乘以球的体积 4 pi/3 = 4 pi。左边是穿过单位球面的通量，我们求得为 4 pi——定理的两半相符。
向外通量 4 pi 等于散度的体积积分 4 pi——一个球里就见到了定理。
曲面必须是闭的（它必须完全围住体积）且向外定向，而且 F 在整个 V 上必须光滑；对内部有奇点的场——如点电荷处的平方反比场——朴素的体积积分会失效，正确的账目（它还原出带所围电荷的高斯定律）用的是狄拉克 delta 源，而非普通的可积散度。
又称
另见