斯托克斯定理
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把格林定理从平坦的平面里抬起来，举到三维空间中，那里回路所围的不是一块平面片，而是一张张在它上面绷开的弯曲曲面，就像金属环上的肥皂膜。斯托克斯定理说，一个向量场绕边缘的环量，等于穿过任何张在该边缘上的曲面的场的总旋度。边缘上的旋转就是整张膜上聚集起来的旋转。
确切地说，若 S 是以曲线 C 为边界的有向曲面，则沿 C 的线积分 F dot dr 等于在 S 上的通量积分 (curl F) dot n dS。左边是绕边界的环量；右边是旋度穿过曲面的通量。一个惊人的特点是答案不依赖于你所选的张成曲面——任意两个边界相同的曲面给出相同的旋度通量，因为它们之差是一个闭曲面，而 div(curl F) = 0。定向必须一致：边界按相对于曲面法向的右手定则走过。
斯托克斯定理是电磁学环量定律的引擎。法拉第定律与安培定律通常以它们的旋度（微分）形式书写，但它们的积分形式——绕回路的电动势等于穿过它的磁通量的变化率，绕回路的磁场环量等于所围的电流——恰恰就是斯托克斯定理应用于 curl E 与 curl B。它也是单连通区域上无旋场为何保守的概念原因：每个回路都张成一张曲面，而旋度为零使每个环量都消失。
设 F = (-y, x, 0)，C 是 xy 平面上以平面圆盘 S 为界的单位圆。环量是 2 pi（同前）；斯托克斯定理与之相符，因为 curl F = (0, 0, 2)，向上的法向是 (0, 0, 1)，所以旋度的通量是 2 乘以圆盘面积 pi = 2 pi。
绕边缘的环量等于旋度穿过任意张成曲面的通量——这里是那块平面圆盘。
曲面与它的边界必须按右手定则相容地定向，且场在曲面上必须光滑；选错定向会使符号反号，而当一个有奇点的场穿过回路（以致没有光滑的张成曲面能避开它）时，朴素地套用定理会失效。