通量积分
把一个圈举在水流里，问每秒有多少水穿过它。如果你把圈正对着水流，就有大量水流过；把它转成侧对，就几乎没有。通量就是对任意向量场和任意曲面回答这个问题的答案：净穿过曲面的场的量，只数真正穿透的那部分，不数沿着曲面滑过的那部分。
向量场 F 穿过有向曲面 S 的通量是曲面积分 integral over S of F dot n dS，其中 n 是给曲面指定其“正”侧的单位法向量，dS 是面积元。点积 F dot n 只保留 F 垂直于曲面的那部分——恰恰是穿透曲面的那部分——所以平行于曲面流动的场贡献零通量。参数化形式下，这就是 integral over the parameter region of F dot (r_u cross r_v) du dv，其中叉积一举提供了法向方向与面积缩放。
通量是一半伟大定理与大量物理的物理含义。由高斯定律，电场穿过闭曲面的通量等于所围电荷除以 epsilon_0；流体速度场穿过曲面的通量是单位时间穿越的体积；热通量度量穿越边界的能量。散度定理恰恰就是这样一个陈述：从闭曲面流出的总通量等于内部散度的积分——通量与散度是同一思想在两个尺度上的体现。
径向场 F = (x, y, z) 向外穿过单位球面的通量是 integral over S of F dot n dS。在球面上 F dot n = 1（场已经是法向的，长度为 1），所以通量等于表面积 4 pi——这与散度定理一致，因为 div F = 3 乘以球的体积 4 pi/3 也是 4 pi。
球面的向外通量 4 pi 与散度的体积积分相符——一行就是散度定理。
通量依赖于你所选的定向：选相反的法向会使它变号，而像莫比乌斯带这样的不可定向曲面根本没有一致的法向，所以那里的通量根本无定义。报告通量之前，务必说明曲面朝哪个方向定向。