曲面积分
线积分把累积铺在一维曲线上；曲面积分则把它铺在二维曲面上。想象一块弯曲的篷布，上面油漆的厚度逐处不同，而你想求油漆的总量：你把曲面铺成许多小片，把每片的局部厚度乘以它的面积，再全部相加。曲面积分就是这个和在小片缩小时的极限。
对曲面 S 上的标量场 f，曲面积分写作 integral over S of f dS，其中 dS 是面积元。要计算它，你把曲面参数化为 r(u, v)；面积元就成为两个切向量叉积的模长，dS = |r_u cross r_v| du dv，于是曲面积分坍缩为在 (u, v) 参数区域上的普通二重积分。取 f = 1 就还原出曲面的面积；取质量密度 f 给出弯曲壳层的质量，依此类推。曲面比曲线高一维，所以你现在积两个参数而不是一个。
曲面积分是通向那些伟大定理之前的倒数第二级台阶。它最重要的特例是通量积分，它用一个向量场与曲面的定向来度量有多少场穿过曲面；通量正是散度定理与散度、斯托克斯定理与旋度相联系的量。在物理之外，它们计算穿过墙壁的热流、穿过高斯面的电通量，以及流体穿过膜的质量通量。
上半单位半球的面积来自 integral over S of 1 dS。用球面角参数化给出 dS = sin(phi) d phi d theta，所以面积是 integral over theta from 0 to 2 pi, integral over phi from 0 to pi/2 of sin(phi) d phi d theta = 2 pi。
选定一个参数化，曲面积分就化为关于参数的普通二重积分。
标量面积元 dS = |r_u cross r_v| du dv 必须取叉积的模长；去掉模长（保留向量）得到的是用于通量的有向面元 dS，二者是不同的对象——把它们混淆是设置通量与面积或质量时的经典错误。