向量场

现在想象房间里每一点上不是一个数，而是一支小箭头：风在每个位置都有速度和方向，河里的水这里这样流、那里那样流。向量场给空间的每一点系上一个向量——一个既有大小又有方向、并且随位置光滑变化的量。风速、流体的流动、作用在试验质量上的引力、电场与磁场：全都是向量场。

在坐标下，向量场写作 F(x, y, z) = (P, Q, R)，即三个普通的标量场 P、Q、R，给出沿 x、y、z 轴的分量。你可以把它画成一片箭头之林，或描出它的场线——处处与箭头相切的曲线，就像穿过流动的流线。两个派生量度量箭头的行为：散度 div F 问这个场是否从某点向外散开（源）或向某点堆聚（汇）；旋度，记作 curl F 或 nabla cross F，问这个场绕某点旋转或环流的程度。它们与梯度一道，都由同一个 del 算子 nabla 构成。

向量场是整门学科的核心对象。第一卷介绍了它们；在这里它们成为流体力学（流动的速度场）、电磁学（麦克斯韦方程组是关于 E 与 B 的散度和旋度的陈述）与引力的语言。那些伟大的积分定理——格林定理、斯托克斯定理与散度定理——恰恰是把关于向量场的局部信息（它的散度或旋度）转换成整体信息（总通量或环量）、以及反过来转换的规则。