标量场

想象你站在房间里的任意位置看温度计：每一点都有一个数，就是温度。标量场恰恰就是这样——一条规则，给空间（或平面）的每一点赋一个单独的数。大气中的气压、发光灯丝的亮度、地图上的海拔、电荷周围的电势：每一个都是标量场，是只有大小、没有方向的量。

形式上，标量场是一个函数 f(x, y, z)，它接收一个位置、返回一个实数。它的几何由它的等值面（或等值线）刻画——也就是 f 取常数值的那些曲面（或曲线），就像天气图上的等温线或地形图上的等高线。如果它可微，这个场就是光滑的；它在每一点最陡上升的速率与方向由它的梯度，即向量场 grad f，记录下来。所以一个标量场自然就孕育出一个向量场。

标量场是向量微积分的起始原料。物理中许多最重要的向量场都是某个标量的梯度——引力来自引力势，静电力来自电势——而认出某个向量场是某标量的 grad（即它是保守场），正是让一个问题骤然变简单的关键。这门学科的算子（梯度，然后在所得向量场上作用的散度与旋度，以及由它们构成的拉普拉斯算子 nabla^2 f）都从作用于标量场、或产生标量场开始。