场的拉普拉斯算子
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取房间里的温度，在每一点问：那里的值与它紧邻的平均值相比如何？如果某点比周围平均更冷，热量就会流向它；如果它恰好处在周围的平均值上，它就处于平衡。拉普拉斯算子正是度量这一点的算子：它在每一点报告这个场偏离其邻域平均值的程度。它是数学物理中最重要的二阶算子。
对标量场 f，拉普拉斯算子是标量场 nabla^2 f = div(grad f) = partial^2 f/partial x^2 + partial^2 f/partial y^2 + partial^2 f/partial z^2——你先取梯度，再取它的散度。它是这个场自身最陡上升箭头的散度，所以在梯度收敛处（局部山谷）为正，在梯度散开处（局部山峰）为负。对向量场 F 还有一个向量拉普拉斯算子，在笛卡尔坐标下逐分量定义，并由恒等式 nabla^2 F = grad(div F) - curl(curl F) 与其他算子相联系。nabla^2 f = 0 的场称为调和场，而调和函数恰恰就是那些在每一点都等于自身邻域平均值的函数。
拉普拉斯算子是三大偏微分方程的核心：拉普拉斯方程 nabla^2 phi = 0（稳态势、平衡）、热方程 partial u/partial t = k nabla^2 u（扩散）与波动方程 partial^2 u/partial t^2 = c^2 nabla^2 u（振动、光、声）。在静电学中泊松方程 nabla^2 phi = -rho/epsilon_0 把势直接与电荷联系起来。凡是有东西扩散、趋于平衡或振荡的地方，支配它的就是拉普拉斯算子。
对 f(x, y) = x^2 - y^2，nabla^2 f = 2 + (-2) = 0，所以 f 是调和的：一个鞍面，每点的值恰好等于其邻域的平均。对 f = x^2 + y^2，nabla^2 f = 4 > 0，这是碗状山谷的标志。
拉普拉斯算子为零意味着平衡（调和）；为正标志局部山谷，为负标志局部山峰。
整齐的笛卡尔公式 partial^2/partial x^2 + ... 只在直角坐标下才这么简单；在极、柱或球坐标下，拉普拉斯算子会因尺度因子而多出额外的项，而且在笛卡尔坐标之外，向量拉普拉斯算子并不只是逐分量的标量拉普拉斯算子——这是常见的错误来源。