向量恒等式

一旦你有了三个由同一个符号 nabla 构成的微分算子——梯度、散度、旋度——你会发现把它们组合起来并非随心所欲：某些组合恒为零，某些乘积总是以相同方式展开。向量恒等式就是这些算子所遵循的这套固定的代数规则，是向量场版的乘积法则和链式法则。掌握它们能把冗长、易错的分量计算变成一行的操作。

有两个恒等式重要到各有专名。第一，梯度的旋度恒为零：对任意标量 f，curl(grad f) = 0。第二，旋度的散度恒为零：对任意向量场 F，div(curl F) = 0。两者都源于混合二阶偏导数的相等，正是梯度无旋、旋度无源的原因。除此之外，乘积法则展开复合表达式：grad(f g) = f grad g + g grad f；div(f F) = f div F + F dot grad f；curl(f F) = f curl F + (grad f) cross F；以及关键的二阶恒等式 curl(curl F) = grad(div F) - nabla^2 F，它定义了向量拉普拉斯算子。

这些恒等式是电磁学与流体力学的工作语法。div B = 0 这一事实让你能把 B 写成某向量势 A 的旋度（因为 div(curl A) = 0 自动成立）；静态下 curl E = 0 这一事实让你能把 E 写成某标量势的负梯度（因为 curl(grad phi) = 0）。从麦克斯韦方程组导出电磁波方程，本质上就是一次 curl(curl E) = grad(div E) - nabla^2 E 的应用。记住十几个恒等式，能让你免于每次都在坐标里重新推导它们。