多元微分学
梯度与等值集（gradient and level sets）
在地形图上，等高线连接海拔相同的点。等值集是它的高维版本：函数取某固定值的全体点之集，f = c。一个干净的几何事实是：任一点处的梯度都垂直（法向）于经过该点的等值集——最陡上坡的箭头总是与等高线成直角相交。
原因毫无玄机。若你沿等值集移动，f 的值不变，所以 f 沿任何与等值集相切方向的变化率为零。但这个变化率是 grad f 点乘（切方向），因此 grad f 与等值集中所有方向正交——这正是“垂直于等值集”的含义。在二维中 grad f 垂直于等值线并指向更高值；在三维中 grad f 垂直于等值面，事实上它就是你用来写出该曲面切平面的法向量。
这种对偶极其有用。它免费给出任何隐式定义曲面 F(x, y, z) = c 的切平面：过该点、以 grad F 为法向的平面。它是拉格朗日乘数法的几何核心——带约束的极值出现在目标函数梯度与约束梯度平行之处（它们的等值集相切）。它还支撑着各处的物理图像——电场线与等势面成直角相交、热流垂直于等温线、流体压强梯度垂直于等压面。
对于 f(x, y) = x^2 + y^2，等值集是一族圆。在 (3, 4) 处梯度 (2x, 2y) = (6, 8) 直指向外，恰好垂直于过该点的圆——而圆在该处的切向是变化为零的方向 (8, -6)。
梯度向外，等值线切向与之垂直——把等高线与最陡箭头的图像精确化。
梯度只在 grad f 非零之处垂直于等值集。在临界点 grad f = 0 不提供方向，等值集在那里甚至可能不是光滑曲线或曲面（它可能自交或捏合）。
又称
另见