方向导数（directional derivative）

偏导只告诉你沿平行于坐标轴行走时的斜率。但你可以朝任意方向跨上一面山坡，并且可能想知道沿那个选定方向的斜率。方向导数正是如此：当你从某点沿一个指定方向移动时 f 的瞬时变化率。

选定一点和一个单位向量 u（长度为一，指向你想去的方向）。f 在该点沿方向 u 的方向导数，是当 t -> 0 时 (f(点 + t u) - f(点)) / t 的极限——即把 f 限制在过该点、方向为 u 的直线上后的普通导数。当 f 可微时，有一个美妙的捷径：方向导数等于梯度与方向的点积，grad f 点乘 u。于是某点处的所有方向导数都被编码进一个对象——梯度——之中，而你通过投影到选定方向就能取回其中任意一个。（用单位向量很重要；若 u 不是单位长度，公式给出的是“每单位 u”的变化率，而非“每单位距离”的变化率。）

这个点积公式立刻解释了梯度为何指向上坡：当 u 与 grad f 对齐时 grad f 点乘 u 最大，所以最陡方向就是梯度的方向，最陡斜率就是它的模长。方向导数是描述一个场沿一束光线、一条流线或一条轨迹如何变化的语言——热通量、代价曲面对优化中某搜索方向的响应、信号沿一条射线的变化率，都住在这里。