偏导数（重访）（partial derivative, revisited）
你在第一卷里见过偏导数：冻结除一个变量外的所有变量，照常求导得到的斜率。从更深的角度重访它：f 关于 x 的偏导数，记作 partial f / partial x，是当你严格沿平行于 x 轴的方向移动、其余所有坐标保持固定时 f 的变化率。它只是众多数值中的一个——每个输入方向都有自己的偏导。
形式上，(a, b) 处的 partial f / partial x 是当 h -> 0 时 (f(a + h, b) - f(a, b)) / h 的极限，这正是切片 g(x) = f(x, b) 的普通一元导数。这种切片既是全部技巧，也是全部危险。因为每个偏导只探测一个平行于坐标轴的方向，所有偏导在某点都存在，几乎不能告诉你函数沿斜方向的行为。函数可以在某点两个偏导都为零，却在那里剧烈不连续。这正是全导数与可微性被发明出来要弥补的巨大鸿沟。
尽管有这个警告，偏导仍是多元微积分不可或缺的原料。它们装配成梯度（所有一阶偏导排成一行）、对向量输出装配成雅可比矩阵、对二阶行为装配成黑塞矩阵。混合二阶偏导——partial^2 f / (partial x partial y) 与 partial^2 f / (partial y partial x)——只要连续就相等（克莱罗/施瓦茨定理），这就是实践中求导次序通常无关紧要的原因。在物理中它们无处不在：压强是能量的偏导、del 中梯度的各分量、热方程中的扩散项 partial u / partial t。
对于 f(x, y) = x^2 y + sin(y)，把 y 当常数得 partial f / partial x = 2 x y，把 x 当常数得 partial f / partial y = x^2 + cos(y)。在 (1, 0) 处：partial f / partial x = 0，partial f / partial y = 2。
每次只对一个变量求导，其余当常数——其机制不过是切片上的一元微积分。
某点处所有偏导都存在，并不蕴含连续，更不蕴含可微——偏导只感知平行于坐标轴的方向。可微是严格更强的条件。