多元可微性（differentiability in several variables）

一元情形里，“可微”不过是说图像有切线。多元情形下诚实的含义是：图像有一张切平面（或切平直空间），它紧贴曲面，以至于二者之间的缝隙比你离开该点的速度更快地消失。这是对良好局部行为的真正承诺，远强于“恰好存在几个偏导”这一记账事实。

确切地说，f 在点 a 处可微，是指存在一个线性映射 L（它必然就是全导数），使得当 h -> 0 时 f(a + h) - f(a) - L(h) 为 o(|h|)——把残余误差除以步长 |h|，无论 h 朝哪个方向都趋于零。两个事实使这成为正确的定义。其一，可微蕴含连续，并蕴含所有方向导数线性地表现（沿方向 u 的方向导数就是梯度与 u 的点积）。其二，它严格强于拥有偏导：函数可以在某点两个偏导都存在，却在那里不可微，因为逼近只沿坐标轴良好，而在斜方向上失败。

你真正会用到的主力充分条件是：若所有偏导在该点的某邻域内都存在且连续（这样的函数称为连续可微，或 C^1），则 f 在那里可微。由于几乎每个由多项式、指数、正弦、对数搭出的公式在其定义之处都是 C^1，可微通常自动成立——你只在拼接点、尖角、或分母为零之处才需要停下来思考。