多元函数的连续性（continuity of several variables）

曲面 z = f(x, y) 在某点连续，意味着那里没有孔洞、没有断崖、没有突然的撕裂——你可以把手平放在它上面，而曲面不会从指尖下突然跳开。多元函数的连续性正是把这种“没有意外”的性质精确化：输入的微小变化绝不会引起输出的突然跳跃。

形式上，f 在 (a, b) 处连续，须满足三件事并彼此一致：f(a, b) 有定义；当 (x, y) -> (a, b) 时 f(x, y) 的极限存在；且该极限等于 f(a, b)。由于这里的极限是真正的二维极限，它必须沿每一条路径都相同。所以多元函数可能以一元情形不可能的方式失去连续：它在该点可以有完好的定义，却在那里没有极限，因为不同方向的趋近互相矛盾。当 f 在某区域内每一点都连续时，称它在该区域上连续。

连续性是让微积分可用的每个定理的入场券。闭有界区域上的连续函数必取得最大值与最小值（魏尔斯特拉斯定理），这正是优化能去寻找它们的依据；它可积；而连续是可微的必要（虽非充分）条件。连续函数的和、积、商（在零点之外）以及复合都连续，所以实践中你很少直接核对定义——你用连续的零件搭出连续的函数，只在分母为零或公式被拼接的特殊点上才需要担心。