极限的路径依赖性（path dependence of limits）

想象你站在平面上的一点，从每个可以想到的方向走向一个目标点，并在抵达时观察函数的高度。如果每位步行者报告的抵达高度都相同，那个共同的值就是极限。路径依赖性是指步行者出现了分歧——走进同一点的不同路线给出不同的极限值——它是多元极限不存在的最常见原因。

路径检验正是直接利用这一点。要趋于 (0, 0)，就代入一族过原点的曲线，比如 y = m x，再对剩下的单个变量求极限。若答案依赖于 m，那就完了：极限不可能存在，因为取不同斜率 m 会得到不同的值。直线并不总能暴露问题，于是下一件武器是抛物线 y = k x^2（它可能与所有直线都矛盾），而要干净地遍历所有方向，则用极坐标 x = r cos(theta)、y = r sin(theta) 并令 r -> 0：若结果仍含有 theta，则极限是路径依赖的。

这正是多元极限之所以微妙背后的实用引擎。一条给出有限、看似一致答案的路径绝不能证明极限存在——它只是未能否定而已。这种不对称是彻底的：任一对坏路径就能扼杀极限，而任何有限条好路径都救不了它。这就是为什么确立存在最终需要极坐标或 epsilon-delta 估计，而否定存在则是这项工作中又快又令人满意的部分。