多元函数的极限（limit of a function of several variables）
在一元情形中，趋近一点只意味着从左边或从右边靠拢——只有两条路。但对于二元函数 f(x, y)，点 (a, b) 位于平面之中，你可以从无穷多个方向走向它：沿直线、沿螺旋、沿抛物线，沿任何曲线。当 (x, y) 趋于 (a, b) 时 f 的极限，是那个无论你沿哪条路走进来都逼近的唯一数值 L。
确切地说，当 (x, y) -> (a, b) 时 f(x, y) 的极限等于 L，是指只要让点 (x, y) 离 (a, b) 足够近，就能把 f(x, y) 逼到任意接近 L——这里的“近”用距离 sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) 来度量。关键词是“每一条”趋近路径。如果两条不同的路径给出两个不同的目标值，那么极限就不存在，毫无例外。正因如此，日常的捷径——直接代入，或先对 x 取极限再对 y 取极限——可能悄悄骗你：累次极限可以存在，而真正的二维极限却不存在。
这种微妙之处并非纯理论。多元微积分后续的每个概念——连续性、偏导数与全导数、可微性——都建立在这个极限之上，所以一开始弄错就会污染下游的一切。实践中，你通过换成极坐标来确认极限存在（令 r -> 0，检查结果与角度无关），通过找到两条互相矛盾的路径来否定极限，常用的是 y = mx 与 y = x^2。
对于 f(x, y) = xy / (x^2 + y^2)，沿 y = 0 趋于原点得到 0；沿 y = x 趋于原点得到 1/2。两条路径，两个答案，所以在 (0, 0) 处极限不存在——尽管先令 x = 0 再令 y = 0（或反过来）都得到 0。
两条直线路径给出不同的值，是证明多元极限不存在最快的方法。
找到某一条路径上的极限值为 L 什么也证明不了——你必须排除每一条路径。只有极坐标（或 epsilon-delta 论证）才能确证极限存在；单条路径只能用来否定。