全微分（total differential）

当你同时把好几个输入各推动极小的一点点时，全微分告诉你输出在一阶上移动多少。它是多元的记账法，把每个变量各自的贡献加起来：你改变的每个输入按其偏导数乘以自己那一小步推动输出，然后你只需把这些推动相加。

对 f(x, y)，全微分是 df = (partial f / partial x) dx + (partial f / partial y) dy，变量更多时每个变量加一项。把它读成一份食谱：f 的变化约等于 f 对 x 的敏感度乘以 x 的变化，加上对 y 的敏感度乘以 y 的变化。符号 dx 与 dy 是你施加的（微小）独立变化；df 是由此估计出的变化。这与全导数内容相同，只是写成一个可以代数字的公式，而非抽象的线性映射。在无穷小步长的极限下逼近是精确的，对真正小的步长则精确到一阶；误差是步长的二阶量。

全微分是多元情形下误差传播、线性逼近与相关变率的计算核心。工程师测量一个依赖若干不确定输入的量时，用 df 把输入容差换算成输出容差；物理学家用它写出某热力学势随若干状态变量变化时如何改变。每当你看到“半径与高度的微小变化使体积大约改变……”这样的说法，下面做算术的正是全微分。