高级积分技巧
参数方程的积分（integration of parametric functions）
许多曲线最自然的描述不是 y = f(x)，而是用一个参数 t 同时驱动两个坐标：x = x(t)，y = y(t)。想象一个点随时间流逝描出摆线或椭圆。要求这种曲线下的面积或它的弧长，你不必先消去 t——而是直接对 t 积分，让参数替你记录曲线扫过的快慢。
关键是把换元法则用到参数上。参数曲线下的面积是 y dx 的积分，而由于 dx = (dx/dt) dt，它变成在 t 区间上 y(t) 乘以 (dx/dt) dt 的积分。弧长用速率：长度元 ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt，所以总长是该速率对 t 的积分。每种情形下，你只是用链式法则把几何量（宽度 dx、长度 ds）改写成了用 dt 表达。
参数积分是轨迹、自我环绕或不是单值函数图像的曲线（圆通不过竖线检验）、以及任何以时间而非位置为主变量的运动的天然舞台。标准陷阱是符号与定向：算扫过的面积时，参数运行的方向决定了 (dx/dt) 的符号，所以顺时针描与逆时针描可能翻转符号——这正是格林定理后来精确化的那种定向敏感性。
对椭圆 x = a cos t，y = b sin t，t 从 0 到 2pi，弧长是 sqrt(a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t) dt 的积分——它没有初等形式，事实上是一个完全椭圆积分。
参数弧长直接通向椭圆积分——这恰恰是那个函数以椭圆命名的原因。
方向有讲究。dx/dt 的符号编码了参数扫过的方向，所以对闭合环路，面积积分随定向改变符号——要盯住它，别盲目取绝对值。
又称
另见