完全椭圆积分（complete elliptic integral）

两个古老的问题抗拒初等微积分：大摆幅下钟摆完整一摆有多长时间，以及椭圆的精确周长是多少？两者都引向一个四次式平方根的积分，而它无法用初等函数完成。完全椭圆积分就是在完整四分之一周期上求出的两个命名答案，终于让这些经典问题收尾。

第一类完全椭圆积分是 K(k) = 从 0 到 pi/2 对 d theta 除以 根号(1 减 k^2 sin^2 theta) 的积分，第二类是 E(k) = 从 0 到 pi/2 对 根号(1 减 k^2 sin^2 theta) d theta 的积分。参数 k 介于 0 与 1 之间，称为模。当 k = 0 时二者都化为初等值，K(0) = E(0) = pi/2；当 k 趋于 1 时，K(k) 以对数方式发散，而 E(1) = 1。「完全」一词表明上限固定在 pi/2——一个完整的四分之一圈——以区别于上限为自由变量的不完全版本。

K 与 E 是处理大摆幅钟摆（其周期为 4 除以固有频率再乘 K(摆幅一半的正弦)）、椭圆周长（涉及 E）、电流环的磁场、梁的屈曲，以及许多曲线弧长的精确工具。它们可用算术-几何平均极快地计算，所以椭圆积分虽是非初等的，在数值上却不比正弦或对数更难求。