雅可比椭圆函数（Jacobi elliptic functions）
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正弦与余弦是最简单弧长积分的反函数，那个含 根号(1 减 x^2) 的积分。如果改从椭圆弧长积分出发，它的反函数是一对新的周期函数。雅可比椭圆函数 sn、cn 和 dn 正是正弦和余弦的这种推广——仍是周期的，但具有由模控制的更丰富的双周期结构。
它们通过对第一类不完全椭圆积分求反来定义：若 u = F(phi, k)，则 sn(u, k) = sin phi、cn(u, k) = cos phi、dn(u, k) = 根号(1 减 k^2 sin^2 phi)。它们满足类似圆三角的恒等式——sn^2 加 cn^2 = 1 与 k^2 sn^2 加 dn^2 = 1——以及简洁的导数 d(sn)/du = cn 乘 dn。当模 k = 0 时它们退化为 sn = sin、cn = cos、dn = 1；当 k = 1 时退化为双曲函数 sn = tanh、cn = dn = sech。对中间的 k，它们有两个周期（一实一虚），成为复变量的双周期函数。
雅可比函数给出非线性钟摆的精确解、旋转刚体的运动（欧拉方程）、浅水波与 KdV 理论中的椭圆余弦波和孤立波，以及非线性电路中的振荡。凡是小角度线性化太粗糙、需要真正非线性振荡之处，sn、cn 和 dn 都提供普通正弦余弦给不出的闭式答案。
幅度为 theta_0 的钟摆的精确摆动是 theta(t) = 2 arcsin( k sn(omega t, k) )，其中 k = sin(theta_0/2)；当 theta_0 趋于 0 时，k 趋于 0，sn 趋于 sin，于是退化为熟悉的小角度余弦运动。
sn 在普通正弦（k = 0）与 tanh 形孤立波极限（k = 1）之间平滑插值。
雅可比函数总共有十二个（sn、cn、dn 及其倒数与比值），而模的约定（k 还是 m = k^2）在不同文献中又有差异——要与你的软件约定一致。