不完全椭圆积分（incomplete elliptic integral）
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完全椭圆积分回答的是「整个四分之一摆有多长」。但你常常想要部分答案——钟摆走过某个给定角度后到了多远，或者椭圆从顶端到某点的弧长。不完全椭圆积分保持上限自由，因而把累积量作为「你在何处停下」的函数来追踪。
第一类不完全椭圆积分是 F(phi, k) = 从 0 到 phi 对 d theta 除以 根号(1 减 k^2 sin^2 theta) 的积分，第二类是 E(phi, k) = 从 0 到 phi 对 根号(1 减 k^2 sin^2 theta) d theta 的积分。新变量 phi 是幅角（上限）；模 k 仍然控制平方根的偏心程度。令 phi = pi/2 即恢复完全积分：F(pi/2, k) = K(k)、E(pi/2, k) = E(k)。这是勒让德标准形式，任何椭圆积分——任何关于变量与三次或四次式平方根的有理函数的积分——都能用标准代换约化到它。
不完全椭圆积分描述部分弧长、有限钟摆摆动的时间-角度关系、带电粒子的轨迹，以及定义雅可比椭圆函数的反演关系：sn、cn 和 dn 实际上就是 F(phi, k) 关于其幅角的反函数。把一个杂乱的平方根积分约化为勒让德的 F 和 E 形式是核心的计算技能，此后快速的标准例程便能完成余下的工作。
F(pi/6, 0.5) = 从 0 到 pi/6 对 d theta 除以 根号(1 减 0.25 sin^2 theta) 的积分 约等于 0.5294，是一次部分摆动；把上限推到 pi/2 则得到完全值 K(0.5) 约等于 1.6858。
上限 phi 自由的不完全积分不断增长，恰在 phi 达到 pi/2 时与完全积分相遇。
幅角 phi 与模 k 是两个独立的自变量，不要把它们合并。完全积分是 phi = pi/2 的特例，并非另一个函数。