魏尔斯特拉斯椭圆函数（Weierstrass elliptic function）
/ VY-er-shtrahss /
如果你想要尽可能简洁的双周期函数——一个在复平面整片平行四边形格点上重复的函数——魏尔斯特拉斯椭圆函数就是标准答案。雅可比函数源自实弧长问题，而魏尔斯特拉斯 P 函数直接由一个格构造，是所有椭圆函数的天然基本构件。
它定义为一个格求和：P(z) = 1 除以 z^2 加上 对所有非零格点 omega 求和的 ( 1 除以 (z 减 omega)^2 减 1 除以 omega^2 )。求和内部的相减正是使该级数收敛的关键。P(z) 是偶函数，在每个格点处有二阶极点，并且是双周期的——对每个格向量 omega 有 P(z 加 omega) = P(z)。它的核心性质是所满足的微分方程：(P 撇)^2 = 4 P^3 减 g_2 P 减 g_3，其中格不变量 g_2 和 g_3 是固定的数。这个代数关系恰好是椭圆曲线的方程，这正是 P 参数化椭圆曲线、把分析的这一角与数论联系起来的原因。
魏尔斯特拉斯函数是把任何三次或四次式在平方根下以最对称形式积分的标准工具，是某些陀螺和测地线问题精确解的工具，也是现代数论与密码学中广泛使用的椭圆曲线理论的基础。雅可比的 sn、cn、dn 与魏尔斯特拉斯的 P 从两个互补的视角描述同一个双周期函数的世界，并有显式公式在二者之间转换。
反过来看那条代数关系，积分 对 dx 除以 根号(4 x^3 减 g_2 x 减 g_3) 的积分 的解是 x = P(z)：魏尔斯特拉斯函数是那个三次式平方根积分的反函数，正如 sin 是二次式平方根积分的反函数。
P 把三次式开方下的积分变成一个干净的反函数，是反正弦的椭圆类比。
P 在一个格上是双周期的，而不像正弦那样单周期；一个非常数的双周期解析函数必有极点（刘维尔定理），所以 P 必然在格点处有二阶极点。