向量值函数的积分（integration of vector-valued functions）

向量值函数 r(t) 输出的不是一个数，而是一支箭——比如粒子在时刻 t 的位置，记作 r(t) = (x(t), y(t), z(t))。对它积分是在问：若我知道每一刻的速度箭，位移箭是什么？令人愉快的答案是，对向量积分并不比逐个对它的分量积分更难；r(t) 的积分就是以 x(t)、y(t)、z(t) 的积分为各分量的那个向量。

这之所以成立，是因为积分是线性运算，而一个向量不过是沿固定坐标方向携带的一束数。所以 r(t) dt 从 a 到 b 的积分等于 (x dt 的积分, y dt 的积分, z dt 的积分)。向量形式的微积分基本定理随之而来：速度 v(t) 从时刻 a 到 b 的定积分给出净位移 r(b) - r(a)，与一维完全一样，只是现在是一支箭。不定向量积分带着一个常向量，由初始条件（如起始位置）确定。

这是运动学和动力学的语言：对加速度积分得速度，对速度积分得位置，每一步都是逐分量积分。唯一真正微妙之处是：逐分量积分只有在固定（笛卡尔）基下才这么简单。在极坐标、柱坐标或球坐标里，基向量本身随位置改变，所以你不能盲目地对分量积分——必须考虑动标架，这正是尺度因子和曲线坐标机制登场的地方。