共形映射（conformal mapping）

想象在一张橡皮膜上印满细小的正方形网格，再把膜拉伸、弯折成新的形状。共形映射是这样一种形变：无论它如何扭曲整体图景，都在微小尺度上保持角度不变：每个小正方形被旋转、被改变大小，却绝不被剪切——它仍是正方形。这种保角性质，正是导数非零的解析函数所为，也是把一个形状棘手的物理问题化为形状容易者的桥梁。

精确地说，在 f 解析且 f'(z) 不为零的点处，映射 w = f(z) 是共形的。在那里 f 局部地像乘以复数 f'(z)：它把每个方向旋转 f'(z) 的辐角、把每段长度按 f'(z) 的模缩放，对所有方向都一样，这正是曲线间夹角得以保持的缘由。在 f' = 0 处映射不再共形，角度可能被加倍乃至更糟。其核心应用倚仗一个你已知的事实：调和函数在共形变量替换下仍调和，于是复杂区域上拉普拉斯方程的解，可由简单区域上的解拉回得到。

这是二维势论的经典引擎。要在一个形状别扭的域中求静电势、理想流体流动或稳态温度，你把这别扭区域共形地映到一个简单区域——半平面或圆盘——那里的答案已知，在那里求解，再映回去。莫比乌斯变换把圆盘与半平面互相映射；茹科夫斯基映射把一个圆变成翼型，是经典机翼理论的根基。黎曼映射定理许诺基本上任何单连通区域都能映到圆盘，尽管求出那显式映射可能很难。