一阶常微分方程与定性理论
正交轨线（orthogonal trajectories）
/ or-THOG-uh-nul /
给定充满平面的一族曲线，它的正交轨线是另一族曲线，处处与第一族成直角相交——一族中的每条曲线都与另一族中的每条曲线以九十度相遇。日常的图景是等高线地图：雨滴所循的最陡下降线，恰好与等高的等值线处处垂直。这两族互为正交轨线。
求它们是一阶微分方程的一个利落应用。先把原族写成 F(x, y) = C，求导得到它的微分方程 dy/dx = m(x, y)——即过每点的原曲线斜率，常数 C 已被消去。正交族必须处处具有斜率的负倒数（互相垂直的直线斜率之积为 -1），故它满足 dy/dx = -1/m(x, y)。解这个新的微分方程，就得到正交轨线。整套方法就是：求出原族的常微分方程，把斜率翻成它的负倒数，再解一次。
正交族在物理中无处不在，原因很深刻：在许多场中，力线与等势面互相垂直。电场线与等势面成直角相交；理想流体的流线与等势线正交相交；等温线（等温度曲线）与热流线互为正交轨线。所以计算一个正交族，往往就是在计算势所驱动的流——一种干净的一阶常微分方程技巧，直通场的物理。
圆族 x^2 + y^2 = C 的斜率为 dy/dx = -x/y。正交轨线满足负倒数方程 dy/dx = y/x，它可分离，解得 y = k*x——即过原点的直线。同心圆与放射状直线互相正交，一眼可证。
把每个斜率翻成负倒数，再解新的常微分方程。
负倒数法则针对普通（直角）正交，在 m = 0 或无穷处会失效——水平的原曲线需要竖直的轨线，而「-1/m」无法直接表达。这些相切与竖直的情形要单独处理。（在极坐标下，垂直条件取另一种代数形式。）
又称
另见