边值问题（boundary-value problem）

想象一根两端都被固定的吉他弦。没人告诉你它一开始怎么动；只告诉你两端必须停在哪里，而你想知道它在中间会取什么形状。这就是边值问题的味道：微分方程在某个区域内部成立，而条件是加在边界上的——区间的两端，或二维、三维区域整圈边缘——而不是全部加在同一个起始时刻。

具体来说，对于区间 [a, b] 上的二阶常微分方程，如 y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)，边值问题在两个端点都给定数据，例如 y(a) = A 与 y(b) = B（狄利克雷型），或给定斜率的条件（诺伊曼型），或两者混合（罗宾型）。这与初值问题不同：初值问题在单一点 a 同时给出 y(a) 与 y'(a)。这种区别很关键：系数良好的初值问题总恰有一个解，而边值问题可能有一个解、没有解、或无穷多解，因为你要穿出一条曲线，同时命中两个分隔位置上的目标。

边值问题是稳态物理的自然栖息地：两端温度固定的杆中的平衡温度、夹在支座上承载横梁的形状、带电壁面区域中的静电势。格林函数正是为对任意源求解线性边值问题而造的工具，而斯图姆-刘维尔理论则是自伴边值问题的谱论。