格林函数与边值问题
可解性条件（solvability condition）
有些方程除非右端配合，否则拒绝被求解。最朴素的例子：你只能在源 f 的平均为零时，才能在圆周上（周期边界）解 u'' = f，因为把 u'' 沿环路积分左边得零，所以总源必须平衡。可解性条件正是这样一种约束——一项源在任何解能存在之前必须通过的检验。
一般的陈述来自伴随。当齐次问题 L u = 0 有非平凡解时，非齐次问题 L u = f 正处在“无解”与“无穷多解”的分界上。弗雷德霍姆择一律给出裁决：L u = f 可解，当且仅当 f 与齐次伴随问题 L* v = 0 的每个解 v 正交，即 f 乘以 v 的积分对每个这样的 v 都为零。这个正交性要求就是可解性条件。当它成立时，解存在但不唯一——你可以加上任何齐次解。当它不成立时，无解。
一旦本征值登场，可解性条件无处不在。恰好在共振处被驱动的受迫振子没有有界的稳态解，因为驱动力与共振模不正交——这正是一个被违反的可解性条件，物理上也正是共振使振幅爆增的原因。在微扰论与多尺度分析中，在每一阶强加可解性条件，恰恰就是去除长期（无界）项并确定慢变演化的方法。当普通格林函数不存在时，你也必须尊重这个条件才能定义修正格林函数。
在 [0, 1] 上解 u'' + pi^2 u = f，边界 u(0) = u(1) = 0。齐次问题有非零解 sin(pi x)（pi^2 是本征值），所以解存在仅当从 0 到 1 的 f(x) sin(pi x) dx 积分 = 0——源沿共振模的分量必须为零。
当零实际上是本征值时，源必须与对应的模正交，否则无解。
可解性条件检验的是与伴随齐次解的正交性，而非与 L 自身齐次解的正交性。对自伴问题两者重合，所以这一区别容易被遗忘——但对非自伴算子，用错零空间就会给出错误的条件。
又称
另见