弗雷德霍姆择一律（Fredholm alternative）
/ FRED-holm /
对方阵线性系统 A x = b，你学过一个干净的“非此即彼”：要么 A 可逆，对每个 b 恰有一个解；要么 A 奇异，那么 b 必须落在一个特殊子空间中才会有解，此时解有无穷多个。弗雷德霍姆择一律正是把这同一二分法提升到微分算子与积分算子——线性边值问题何时可解的结构性法则。
对边值问题 L u = f 陈述如下：两种情形恰好成立其一。要么齐次问题 L u = 0 只有平凡解，那么 L u = f 对每个源 f 都有唯一解（且真正的格林函数存在）。要么齐次问题有非平凡解，那么 L u = f 仅对满足可解性条件——与齐次伴随问题 L* v = 0 的每个解正交——的源 f 可解，且可解时解不唯一，只确定到相差任意齐次解。L 的独立齐次解个数等于 L* 的个数，所以维数像有限维线性代数中那样恰好匹配。
这是本领域其余一切的组织原则。它预先告诉你格林函数是否存在、共振何时会击败稳态解、以及源必须满足什么相容性。它对紧致积分算子与物理中的椭圆型边值问题成立，因此支撑着拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程与稳态方程的严格理论。诚实的告诫：这个干净的择一律要求算子属于正确类型（弗雷德霍姆型，核为有限维）——对具有连续谱的算子它可能失效，那里存在性更为微妙。
对 [0, 1] 上 u'' + lambda u = f，边界 u(0) = u(1) = 0：若 lambda 不是本征值 (n pi)^2，齐次问题只有 u = 0，故对每个 f 都有唯一解。若 lambda = (n pi)^2，仅当 f sin(n pi x) dx 的积分 = 0 时才有解，且此时解不唯一。
把 lambda 调到本征值上，问题就从“总能唯一求解”翻转为“仅在源相容时可解”。
这个择一律是穷尽的，但只在其前提之内：它是关于弗雷德霍姆算子（核与余核均为有限维）的定理。不要对无穷维空间上任意的无界算子假定这个整洁的二分法，那里连续谱可能打破二择一。