伴随算子（adjoint operator）
对矩阵 A，转置 A^T 是让你把 A 从点积一侧滑到另一侧的搭档：A x 与 y 的点积等于 x 与 A^T y 的点积。伴随算子是同一想法对微分算子的版本：它是搭档 L*，让你在积分内积中把 L 从第一个函数挪到第二个函数上，沿途只付一笔边界项的过路费。
具体地，对作用于 [a, b] 上函数的微分算子 L，其形式伴随 L* 由拉格朗日恒等式定义：(L u) v 的积分减去 u (L* v) 的积分，等于在 a 与 b 处求值的一个边界项。分部积分同时产生 L* 与那个边界项。当你再用为消去边界项而选的伴随边界条件来固定函数空间时，就得到完整的伴随边值问题。特殊而核心的情形是 L 等于 L* 且边界条件与其自身的伴随相匹配——此时问题是自伴的，边界项按设计消失，你便继承了实本征值、正交本征函数与对称格林函数 G(x, s) = G(s, x)。斯图姆-刘维尔形式的存在，正是为了使二阶问题自伴。
伴随是通往可解性的门户。非齐次问题 L u = f 是否可解、其解是否唯一，都由伴随问题 L* v = 0 通过弗雷德霍姆择一律决定：仅当 f 与齐次伴随问题的每个解正交时，解才存在。所以即便你只关心 L，也避不开 L*——它掌管存在性、唯一性以及格林函数的互易对称。
对 [0, 1] 上 L u = u''，两次分部积分给出 u'' v 的积分 - u v'' 的积分 = [u' v - u v'] 从 0 到 1，所以 L* v = v''——算子形式上自伴。配上匹配的边界条件 u(0) = u(1) = 0，边界项消失，L 真正自伴，迫使 G 对称。
自伴既需要正确的算子形式，也需要正确的边界条件——边界项必须消亡。
一个算子可以是形式自伴的（作为符号 L = L*），但若边界条件未能消去边界项，作为一个问题它仍不自伴。自伴是算子连同其边界条件的性质，绝不是微分表达式单独的性质。