本征函数展开法（eigenfunction expansion method）
这里是把整个领域与求解真实边值问题系在一起的总策略：要解一个微分方程，就把一切都按该问题自身算子的本征函数展开。因为这些本征函数把算子对角化——算子作用在每个本征函数上只是把它乘以自己的本征值——一个复杂的微分方程便坍缩成一串平凡、解耦的系数方程，每个模式一个。
具体地说，取一个由斯图姆-刘维尔算子 L 支配的边值或初值问题。求出它的本征函数 y_n 与本征值 lambda_n。把未知解、源项、初始数据全部按同一基底展开。因 L y_n = -lambda_n w y_n，算子在求和内部变成乘以 -lambda_n，于是每个系数服从自己的简单方程。对受迫的定常问题 L u = f，得系数 c_n =（f 在 y_n 上的投影）除以（-lambda_n 乘范数平方）——前提是没有 lambda_n 为零（若有，弗雷德霍姆择一律警告你：解存在当且仅当 f 与那个模式正交）。对热方程这类含时问题，每个模式的振幅按 e^{-lambda_n t} 衰减，故解为 sum of c_n e^{-lambda_n t} y_n(x)。
这正是分离变量法在幕后所做的事，也是格林函数如何被构造为本征函数之和的方式。该方法的威力与局限都诚实摆出：对线性问题、且在你确实能求出本征函数的域上（区间、圆盘、球面、好坐标系下的盒子），它强大而精确；但它无助于非线性方程或不存在干净本征基的不规则域，并且像每一种此类展开一样，它继承了均方收敛以及间断处的吉布斯过冲。
在 [0, L] 上解热方程 u_t = u_xx，两端 u = 0，初始分布 u(x, 0) = f(x)。把 f 展为本征函数 sin(n pi x / L)：则 u(x, t) = sum of b_n e^{-(n pi/L)^2 t} sin(n pi x / L)，每个模式以自己的速率衰减，最低模式存活最久。
每个本征模式独立演化；高模式（大 lambda_n）消失最快，这就是扩散先抹平尖锐特征的原因。
仅当确实有完备本征基可用时，该方法才精确而干净；对不规则域或非线性方程，可能没有可用的本征函数，而一个零本征值使得定常受迫问题仅在弗雷德霍姆择一律的正交条件下才可解。