格林函数的本征函数展开（eigenfunction expansion of a Green's function）
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构造格林函数有两条路。一条是局部构造：用跳跃条件把齐次解在源处拼接起来。另一条是全局且谱的：把格林函数在算子的固有振动模式中展开。如果你已知道问题的本征函数与本征值，第二条路几乎瞬间就把格林函数写成一个单一级数。
这套配方建立在斯图姆-刘维尔理论之上。设 L 有满足边界条件、且 L phi_n = lambda_n w phi_n 的本征函数 phi_n，并设这些 phi_n 关于权 w 构成完备的正交归一集。把未知的 G 与 delta 源都在这组基下展开。因为 phi_n 是本征函数，把 L 作用于 G 的级数会使算子化为乘以 lambda_n，再与 delta 的展开（完备性关系，sum phi_n(x) phi_n(s) = delta(x - s)/w）相匹配，就定下每个系数。结果是双线性级数 G(x, s) = 对 n 求和 phi_n(x) phi_n(s) / lambda_n。每一项是一个模的贡献，按其本征值的倒数加权。
这个表示既有启发性又在实践中强大。它透明地表明，为什么当 lambda 撞上某个本征值时格林函数会爆掉——一个分母变零，这正是共振，也是弗雷德霍姆择一律失效的可视化。它是为矩形、圆盘或球面上拉普拉斯算子写出格林函数的标准方式（对正弦、贝塞尔模、球谐函数求和），并把整套格林函数机制连回广义傅里叶级数。诚实的局限：你必须已经掌握完整的谱，所以它对本征函数已知的可分离、对称几何最为有用。
对 [0, 1] 上 -G'' = delta(x - s)，边界 G(0) = G(1) = 0，本征函数为 phi_n = sqrt(2) sin(n pi x)，本征值 (n pi)^2。谱公式给出 G(x, s) = 对 n 求和 2 sin(n pi x) sin(n pi s) / (n pi)^2——与闭式 x(1 - s) 同一个格林函数，现在写成傅里叶正弦级数。
同一个格林函数既有闭式，又有谱级数——一个对象的两副面孔。
若零是某个本征值（对某 n，lambda_n = 0），级数会出现除以零，普通格林函数不存在——这正是弗雷德霍姆择一律的障碍。你于是去掉那个模，构造修正格林函数，这也是为什么谱形式让这种失效如此显眼。