亥姆霍兹分解
/ HELM-holts /
每一个向量场，无论多么纠缠，都能分裂成两个干净的部分：一个只散开（有散度但无旋度），一个只旋转（有旋度但无散度）。想象把一张风场图分成两部分：一部分从源向外流、向汇流入，加上一部分纯粹在涡旋中环流。亥姆霍兹分解就是这样一个定理：这种分裂总是存在，并精确地确定每一部分究竟是什么。
确切地说，在适当的衰减条件下，向量场 F 可以写成 F = -grad phi + curl A，即一个无旋（无旋度）部分 -grad phi 与一个无源（无散度）部分 curl A 之和。第一部分由标量势 phi 构成，承载 F 的全部散度（因为梯度的旋度为零）；第二部分由向量势 A 构成，承载全部旋度（因为旋度的散度为零）。实际上，F 的散度与 F 的旋度合在一起——即源与旋转——几乎完全决定了 F，只剩下边界或远场数据需要确定。
这个分解正是散度与旋度恰是值得研究的那两个量的原因：它们正是重建一个场所需的数据。在流体力学中，它把流动分成势（无旋）流加上携带涡量的部分，这是空气动力学的核心。在电磁学中，它是把磁场写成 B = curl A、把静电场写成 E = -grad phi 的基础，也是麦克斯韦方程组——它规定了 E 与 B 的散度和旋度——足以决定场的结构性原因。两个伟大的定理（散度定理与斯托克斯定理）分别支配这两半。
径向场 (x, y, z) 是纯无旋的：它的旋度为零，所以它的全部内容都在 -grad phi 这一部分（取 phi = -(x^2 + y^2 + z^2)/2）。旋转场 (-y, x, 0) 是纯无源的：它的散度为零，所以它完全在 curl A 这一部分。大多数真实的场是这两者真正的混合。
两个极端的场，一个全是散开、一个全是旋转；一般的场则混合了两部分。
只有在固定了边界或衰减条件之后，这个分解才唯一：在无界空间中，你需要场在无穷远处足够快地衰减；在有界区域上，你总能加上一个调和场（既无旋又无源的场）而不改变 div F 或 curl F，所以若无额外条件，这个分裂并不唯一。