函数序列与级数
魏尔斯特拉斯 M 判别法
M 判别法是证明函数级数一致收敛最省心的办法。诀窍是干脆忘掉变量：把每一项用一个不依赖于 x 的常数界住，再检查这些常数之和有限。只要有一个收敛的数项级数压住整个函数级数，一致性便免费奉送。
陈述：设 f_n 是集合 E 上的函数，且存在常数 M_n，使得对所有 x 属于 E 都有 |f_n(x)| <= M_n，并且数项级数 sum M_n 收敛。则级数 sum f_n(x) 在 E 上一致（且绝对）收敛。这些 M_n 是上界——通常取 M_n = sup 关于 x 的 |f_n(x)| 最为锐利，但任何有效的界都行。
证明其实是乔装的一致柯西准则：尾部 |sum_{k=n+1}^m f_k(x)| <= sum_{k=n+1}^m M_k，而右端与 x 无关，并因 sum M_n 收敛而趋于 0。一个诚实的局限：M 判别法只能识别绝对一致收敛，故它无法判定那些仅靠微妙相消才一致收敛的级数（对这类级数，应改用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法）。
考察整条实轴上的级数 sum_{n>=1} sin(nx)/n^2：|sin(nx)/n^2| <= 1/n^2 = M_n，而 sum 1/n^2 = pi^2/6 < infinity。由 M 判别法，该级数在 R 上一致收敛；又因每一项都连续，其和是 R 上的连续函数。
一个收敛的数项级数压住级数并强制一致收敛。
另见