函数序列与级数
一致柯西准则
对普通数列，柯西准则让你无需事先知道极限就能证明收敛：只要检查各项最终挤到一起。一致柯西准则是同一思路提升到函数上——即便你没有极限函数的公式，只要检查 f_n 一致地聚拢，就能确立一致收敛。
陈述：E 上的序列 f_n 称为一致柯西的，是指对每个 epsilon > 0 都存在 N，使得当 m, n >= N 时对所有 x 属于 E 都有 |f_m(x) - f_n(x)| < epsilon——也即 sup 关于 x 的 |f_m(x) - f_n(x)| < epsilon。定理（对取值于实数、复数或任一完备度量空间的函数成立）是：f_n 在 E 上一致收敛，当且仅当它是一致柯西的。两个方向都重要。
为何成立：逐点地看，柯西条件迫使每个 f_n(x) 收敛到某个值，从而定义出极限 f(x)。然后在 |f_m(x) - f_n(x)| < epsilon 中固定 m 让 n -> infinity，便对所有 x 一齐得到 |f_m(x) - f(x)| <= epsilon，这正是一致收敛。使逐点极限存在的关键是目标空间的完备性——若函数取值于像有理数那样不完备的空间，该准则可能失效。
考察实轴上的部分和 s_n(x) = sum_{k=1}^n cos(kx)/k^2。当 m > n 时，|s_m(x) - s_n(x)| <= sum_{k=n+1}^m 1/k^2，与 x 无关，而由于 sum 1/k^2 收敛，这条尾巴趋于 0。于是 (s_n) 是一致柯西的，因而一致收敛——根本不必显式写出极限。
不指明极限即可证明一致收敛。
用上确界范数的语言，这无非是说有界函数空间是完备的：一个序列一致收敛当且仅当它在上确界范数下是柯西的。
另见