柯西序列

柯西序列是其各项最终彼此挨作一团的序列，与任何外部目标无关。判据纯粹是内部的：走得足够远后，任意两项彼此任意接近——不是接近某个指定的极限，而仅仅是彼此接近。它刻画了序列“收紧”的想法，而无需先知道它驶向何方。

确切地说：若对每个 epsilon > 0 都存在 N，使得对一切 m, n > N 有 |a_m - a_n| < epsilon，则称 (a_n) 是柯西序列。试与极限的 epsilon-N 定义对照，后者把 a_n 与固定的 L 相比；这里比较的是成对的项。这正是它的一大优点：你无需指出甚至无需知道极限，就能认定柯西性。

在实数中，柯西与收敛是等价的——序列收敛当且仅当它是柯西序列。这一等价性恰恰是 R 的完备性，也正是它使 R 成为完备空间。微妙之处在于这一等价在别处可能失效：在有理数中，sqrt(2) 的十进制截断序列是柯西序列，却没有有理极限。有理数不完备，而这个缺口正是实数所填补的。