有理数的稠密性

有理数沿着实数轴密密地撒布：在任意两个不同的实数之间，无论它们多么接近，你总能找到一个分数。不存在窄到容不下任何有理数的缝隙。

确切地说：若 a 小于 b，则存在有理数 q 使 a 小于 q 且 q 小于 b。证明利用阿基米德性质选取一个足够大的分母 n，使 1 除以 n 小于 b 减 a，此后 1 除以 n 的某个倍数必落在 a 与 b 之间且严格介于其间。

稠密性正是有理数能以任意精度逼近任何实数的原因，也是它们构成实数中一个可数却稠密的子集的原因。同样的论证表明无理数也是稠密的：任意两个实数之间也有无理数，例如把一个有理数平移二的平方根除以一个大整数即可。

切勿把稠密与完备混淆。有理数在实数中稠密，却不完备；稠密说的是它们能任意逼近每个实数，而完备则要求它们真的含有每一个极限，这一点它们做不到。