阿基米德性质

阿基米德性质断言实数轴上既没有无穷大的数，也没有无穷小的正数。无论一个实数多么巨大，你都能通过把 1 累加足够多次而越过它；无论一个正实数多么微小，反复累积它的副本终将超过任何给定目标。

确切地说：对任意实数 x，都存在自然数 n 使 n 大于 x。等价地，对任意正实数 epsilon，都存在自然数 n 使 1 除以 n 小于 epsilon。这两种形式是同一断言从两端来看，一个讲变大，一个讲变小。

对实数而言这是定理，而非额外公理：它由最小上界性质推出。若自然数有上界，则它们有上确界 s，但这样 s 减 1 就不再是上界，从而存在大于 s 减 1 的自然数，进而存在大于 s 的自然数，矛盾。

在某些奇异的有序域中此性质不成立，例如非标准分析中含有真正无穷小量的域。在那里，一个元素可以为正，却比每个 1 除以 n 都小。实数刻意排除了这类元素，这正是普通微积分无需真正的无穷小量的原因。