最小上界性质

最小上界性质是保证实数轴没有缝隙的那一条单一承诺。它许诺：只要一个非空集合从上方被封住，就一定存在一道最紧的封顶，一个恰好坐落在集合边缘的数。

确切地说：实数中每个非空且有上界的子集都有上确界，并且这个上确界本身就是一个实数。等价地，由对称反射，每个非空且有下界的子集都有下确界。这通常被取作定义实数的公理，或在构造出实数之后作为定理证明。

这一条性质的威力极其巨大。分析学几乎所有基础定理都从它流出：阿基米德性质、波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理、有界单调序列的收敛、介值定理与最值定理，以及实数作为度量空间的完备性。每一条都以各自的语言诉说着：这条直线没有空洞。

诚实的对照对象是有理数，它构成有序域，却缺乏这一性质。小于二的平方根的有理数有有理数上界，却没有有理数上确界；那个本应充当上确界的数从缝隙中溜走了。把所有这样的缝隙补满，正是从有理数过渡到实数所完成的事。